高等数学（同济）

常用函数

函数名称	表达式	说明
幂函数	$y = x^a$	a 是常数
指数函数	$y=a^x, (a>0, a \neq 1)$	a > 1单调递增；0 < a < 1单调递减
对数函数	$y=log_ax(a>0, a\neq 1)$	$y = lnx$ $(0, +\infty)$
	对数函数运算性质	$log_ax + log_ay=log_ax\cdot y$
		$log_ax-log_ay=log_a{\frac {x}{y}}$
		$log_ax^b=b\cdot log_ax$
		$y=log_ax 和 y=a^x互为反函数$ $y=x$ 对称
三角函数	$y = \sin(x)$	$R$ $[-1,1]$
	$y = \cos(x)$	$R$ $[-1,1]$
	$y=\tan(x)$	$\{x \mid x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, k=0, \pm 1,\ ...\}$ $(-\infty, +\infty)$
	$y = \cot(x)$	$\{x \mid x \neq k\pi, k=0, \pm 1, \pm2,...\}$
	$y=sec(x)$	$y =sec(x) = \frac {1}{cos(x)}$
	$y=csc(x)$	$y=csc(x)=\frac{1}{sin(x)}$
反三角函数	$y=arcsin(x)$	$[-1, 1]$ $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$
	$y=arccos(x)$	$[-1, 1]$ $[0, \pi]$
	$y=arctan(x)$	$(-\infty, +\infty)$ $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$
	$y=arccot(x)$	$(-\infty, +\infty)$ $(0, \pi)$
常函数	$y=C$	$(-\infty, +\infty)$ $C$
绝对值函数	$y=\mid x\mid$	$(-\infty, +\infty)$ $[0, +\infty)$
符号函数	$y=sgn(x)$	$(-\infty, +\infty)$ $(-\infty, +\infty)$
取整函数	$y=[x]$	$(-\infty, +\infty)$ $Z$

极限

$e$

lim_{h \to 0 +} (1 + h)^{\frac{1}{h}} = e

导数

$f(x)$	$f^{'}(x)$	说明
$C$	$0$	常函数
$x^n$	$n\cdot x^{n-1}$
$sin(x)$	$cos(x)$
$cos(x)$	$-sin(x)$
$a^x$	$a^x\cdot lna$	$e^x的导数是 e^x$
$log_a(x)$	$\frac 1{x\cdot lna}$	$lnx的导数是 \frac 1x$
$tan(x)$	$sec^2(x)$
$cot(x)$	$-csc^2(x)$
$sec(x)$	$sec(x) \cdot tan(x)$
$csc(x)$	$-csc(x) \cdot cot(x)$
$arcsin(x)$	$\frac 1{\sqrt{1 - x^2}}$
$arccos(x)$	$-\frac 1{\sqrt{1 - x^2}}$
$arctan(x)$	$\frac 1 {1+x^2}$
$arccot(x)$	$-\frac 1 {1+x^2}$

$1+tan^2x=sec^2 x$

求导

$若函数f(x)在x_0处可导，则函数f(x)在x_0处连续。[连续是可导的必要条件]$ 函数连续未必可导!!!，可导是函数连续的充分条件。
导数的和、差、积、商
1. $(u(x) \pm v(x))^{'} = u^{'}(x)\pm v^{'}(x)$
2. $(u(x) \cdot v(x))^{'} = u^{'}(x)v(x) + u(x)v^{'}(x)$

(\frac{u}{v})^{^{'}} = \frac{u^{^{'}} \cdot v - u \cdot v^{^{'}}}{v^{2}}

$(y)$ 导数的倒数．

(a r c s i n (x))^{^{'}} = \frac{1}{(s i n (y))^{^{'}}} = \frac{1}{c o s (y)} = \frac{1}{\sqrt{1 - s i n^{2} (y)}} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}

复合函数求导

\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x} ， 即 y^{^{'}} (x) = f^{^{'}} (u) \cdot g^{^{'}} (x)

$f(x) = x^{\frac 1x}(x > 0, x \ne 1)$ $f^{'}(x) = (e^{\frac {lnx}{x}})^{'}$

极限与导数

f^{^{'}} (h) = lim_{x \to h} \frac{f (x) - f (h)}{x - h}

$f(0)=0$

lim_{x \to 0} \frac{f (x)}{x} = f^{^{'}} (0)

参数方程

y = y (x) = {\begin{aligned} x & = \arctan (t) \\ y & = l n (1 + t^{2}) \end{aligned}

求导

\begin{matrix} \frac{d y}{d x} = \frac{\frac{d y}{d t}}{\frac{d x}{d t}} \\ \frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{d}{d x} (\frac{d y}{d x}) = \frac{\frac{d}{d t} (\frac{d y}{d x})}{\frac{d x}{d t}} \end{matrix}

曲率

$y = f(x)$

K = | \frac{d α}{d s} | = \frac{| y^{^{″}} |}{(1 + y^{^{'} 2})^{\frac{3}{2}}}

$x = \varphi(x); y = \psi(x)$

K = \frac{φ^{^{'}} (t) ψ^{^{″}} (t) - φ^{^{″}} (t) ψ^{^{'}} (t) |}{[φ^{^{'} 2} (t) + ψ^{^{'} 2} (t)]^{\frac{3}{2}}}

等价无穷小

表达式	等价无穷小	说明
$ln(1+x)$	$x$	备注1
$e^x - 1$	$x$	备注2
$x - ln(1+x)$	$\frac {1}{2} \cdot x^2$	备注1
$1-cosx$	$\frac {1}{2}\cdot x^2$	备注3
$(1 +x)^a-1$	$ax$	备注4
$acrsinx, sinx, arctanx, tanx$	$x$
$\lim\limits_{x \to 0}\frac {arcsinx + sinx}{x}$	$2$

备注：

$ln(1+x)$ 麦克劳林公式

l n (1 + x) = x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} - . . . + (- 1)^{n - 1} \cdot \frac{x^{n}}{n} + o (x^{n})

$e^x$ 麦克劳林公式

e^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + . . . + \frac{x^{n}}{n!} + \frac{e^{θ x}}{(n + 1)!} \cdot x^{n + 1}; 0 < θ < 1

$cosx$ 麦克劳林公式

c o s x = 1 - \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} - \frac{x^{6}}{6!} + . . . + (- 1)^{n} \frac{x^{2 n}}{2 n!} + \frac{c o s [θ x + (n + 1) π]}{(2 n + 2)} x^{2 n + 2}

$(1+x)^a$ 的麦克劳林公式

(1 + x)^{a} = 1 + a x + \frac{a (a - 1)}{2!} \cdot x^{2} + . . . + \frac{a (a - 1) \cdot . . . \cdot (a - n + 1)}{n!} \cdot x^{n} + o (x^{n + 1}) (a \in R)

$sinx$ 的麦克劳林公式

s i n x = x - \frac{x^{3}}{3!} + \frac{x^{5}}{5!} - . . . + (- 1)^{n - 1} \cdot \frac{x^{2 n - 1}}{(2 n - 1)!} + \frac{s i n [θ x + (2 n + 1) \frac{π}{2}]}{2 n + 1}! \cdot x^{2 n + 1}

积分求解

$\int_0^1 cos^2xdx = \int_0^1 \frac {1+cos2x}{2}dx$

极限和积分

lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \cdot \sum_{i = 1}^{n} l n (1 + \frac{i^{2}}{n^{2}}) = \int_{0}^{1} l n (1 + x^{2}) d x

分部积分法

\int_{0}^{1} l n (1 + x^{2}) d x = x \cdot l n (1 + x^{2}) - \int_{0}^{1} x \cdot \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x

\int u d v = u v - \int v d u

常用公式

名称	详情
立方和	$a^3 + b^3=(a+b)\cdot (a^2 - ab + b^2)$
立方差	$a^3-b^3=(a-b)\cdot(a^2+ab+b^2)$
二项式	$(a+b)^n=\sum_{r=0}^{n}C_n^r a^{n-r}b^r$
正切，正割关系	$sec^2(x) = 1 + tan^2(x)$
平方累积和	$1^2 + 2^2 +\ ...\ +n^2=\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}$
不等式	$\sqrt{x \cdot y} \le \frac{x + y}{2}$

备注：

平方累积和

\begin{matrix} (n + 1)^{3} - n^{3} = 3 \cdot n^{2} + 3 \cdot n + 1 \\ n^{3} - (n - 1)^{3} = 3 \cdot (n - 1)^{2} + 3 \cdot (n - 1) + 1 \\ . . . \\ 3^{3} - 2^{3} = 3 \cdot 2^{2} + 3 \cdot 2 + 1 \\ 2^{3} - 1^{3} = 3 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 + 1 \end{matrix}

各项求和即可，再求解平方累积和部分结果。

定理

费马定理

$f(x)$ $x_0$ $U(x_0)$ $x_0$ $x \in U(x_0)$ $f(x) \le f(x_0)$ $f(x) \ge f(x_0)$ $f^{'}(x_0)=0$ .

罗尔定理

$y=f(x)$ 满足：

$[a, b]$ 上连续
$(a, b)$ 内可导
$f(a) = f(b)$

$(a, b)$ $\xi(a < \xi < b)$ $y=f(x)$ $f^{'}(\xi) = 0$ .

三个条件充分非必要，罗尔定理可以作为普通函数和导函数的纽带。

零点定理

$f(x)$ $[a, b]$ 上连续
$f(a) \cdot f(b) < 0$

$\xi \in (a, b)$ $f(\xi) = 0$

介值定理

$f(x)$ $[a, b]$ 上连续
$f(a) = A, \ f(b) = B\ (A \ne B)$

$A, B$ $C$ $(a, b)$ $\xi$ $f(\xi) = C$ $m$ $M$ 之间的任何值。

拉格朗日中值定理

$f(x)$ 满足，

$[a, b]$ 上连续
$(a, b)$ 内可导
$\xi \in (a, b)$ ，使

f^{^{'}} (ξ) = \frac{f (b) - f (a)}{b - a} ， 即 f (b) - f (a) = f^{^{'}} (ξ) \cdot (b - a)

柯西中值定理

$f(x), F(x)$ 满足

$[a, b]$ 上连续
$(a, b)$ 内可导
$x \in (a, b)$ $F^{'}(x) \ne 0$ ，

$\xi \in (a, b)$ ，使得

\frac{f (b) - f (a)}{F (b) - F (a)} = \frac{f^{^{'}} (ξ)}{F^{^{'}} (ξ)}

性质

极限的保号性

$f(x)$ $L$ $L$ 也继承该单调性。
$f(x)$ $L$ $L$ 也继承该符号性质。

实例

数列极限

$a_1>0, a_{n+1}=ln(1+a_n)(n = 1, 2, ...)$ $\lim\limits_{n \to \infty} a_n$ 存在，并求此极限

解：证明：

$a_1 > 0$ $a_k > 0$ $a_{k+1} = ln(1+a_k) > 0$ $n$ $a_n>0$
$x>0$ $ln(1+x) < x$ $a_{n+1} = ln(1+a_n)<a_n$ $\{a_n\}$ $\{a_n\}$ $\lim\limits_{n \to \infty}a_n$ 存在
$\lim\limits_{n \to \infty} = A$ $a_{n+1} = ln(1+a_n)$ $A=ln(1+A)$ $A=0$

可导性

$f(x)=x^{\frac 23}$ $x=0$ 处不可导

$f(0) = 0$
$\lim\limits_{h \to 0} \frac {f(0+h)-f(0)}{h} = \lim\limits_{h \to 0} \frac {h^{\frac 23}}{h}=\lim\limits_{h \to 0} h^{-\frac{1}{3}}=\infty$
故不可导

判断题

$f(x)$ $x=a$ $f(a) \ne 0$ $|f(x)|$ $x=a$ 处一定可导

$f(x) > 0$ $\lim\limits_{x \to a}f(x) = f(a)$ $\delta > 0$ $x \in (a-\delta, a+\delta)$ 时
$f(x) > 0$ $\lim\limits_{x \to a}\frac {|f(x)|-|f(a)|}{x - a}=\lim\limits_{x \to a} \frac {f(x) - f(a)}{x-a}=f^{'}(a)$
$|f(x)|$ $x=a$ $f(a) < 0, |f(x)|$ $x=a$ 处可导。

证明题

拉格朗日中值定理

$0 < b \le a, 则 \frac {a-b}{a} \le \ln(\frac ab) \lt \frac {a-b}{b}$

$f(x)=\ln x$ $[b,a]$ $b< \xi <a$

注意：

$\int \frac1xdx = ln|x| + C$ 并不正确，

$\frac12$ $\ln|x|+C$ 了

$\int_0^{\frac {\pi}{2}}f(cosx) = \int_0^{\frac {\pi}{2}}f(sinx)$

$dS = \frac 12 \cdot [r(\theta)]^2d\theta$ ，扇形面积为

S = \frac{1}{2} \int_{α}^{β} [r (θ)]^{2} d θ

$x$ 轴的旋转体体积

V_{x} = π \int_{a}^{b} f^{2} (x) d x

$y$ 轴的旋转体体积

V_{y} = 2 π \int_{a}^{b} x \cdot f (x) d x

$\frac {x^2}{a^2} + \frac {y^2}{b^2}=1$ $x$ $V = \frac 43 \pi ab^2$ $y$ $V=\frac 43 \pi a^2 b$ $a=b=R$ $V=\frac 43\pi R^3$

弧长

s = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + f^{^{'} 2} (x)} d x

参数方程弧长公式

d s = \sqrt{φ^{^{'} 2} (x) + ψ^{^{'} 2} (x)} d t

星形线

\begin{matrix} {\begin{array}{r} x = a c o s^{3} t \\ y = a s i n^{3} t \end{array} \end{matrix}

微分方程

可分离变量的微分方程

\frac{d y}{g (y)} = f (x) d x

齐次方程

\frac{d y}{d x} = φ (\frac{y}{x})

$u=\frac yx$ ,有

u + x \cdot \frac{d y}{d x} = φ (u)

应用分离变量即可。

一阶线性微分方程

\frac{d y}{d x} + P (x) \cdot y = Q (x)

$Q(x) \equiv 0$ 时，下面方程为一阶齐次线性微分方程

\frac{d y}{d x} + P (x) \cdot y = 0

一阶齐次线性微分方程的通解为

y = C \cdot e^{- \int P (x) d x}

一阶线性微分方程通解，设为

y = u (x) \cdot e^{- \int P (x) d x}

求导

y^{^{'}} = u^{^{'}} (x) \cdot e^{- \int P (x) d x} - u (x) \cdot P (x) \cdot e^{- \int P (x) d x}

$y^{'}$ 代入一阶线性微分方程

u^{^{'}} (x) = Q (x) \cdot e^{\int P (x) d x}

$u(x)$

u (x) = \int Q (x) \cdot e^{\int P (x) d x} + C

代入一阶线性微分方程通解

y = [\int Q (x) \cdot e^{\int P (x) d x} d x + C] \cdot e^{- \int P (x) d x}